Запятая не нужна.
Сказаться — отразиться на ком-, чем-л., повлиять на кого-, что-л. Так, возможно и, например, сочетание (что-то) хорошо сказалось (на чем-то).
Поэтому сочетание отрицательно сказаться полностью корректно.
Вообще говоря, сочетание "сохранить здоровье больных" нелогично.
Верная пунктуация: Помочь детям, больным раком, можем только мы.
Правильно: усиление симптомов, ухудшение самочувствия. Запятая не требуется.
Существительное мозоль женского рода: больная мозоль.
Вариант названия клуба без предлога "для" выглядит предпочтительным.